Transformata Fouriera

Dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform – DFT) jest procedurą numeryczną pozwalającą analizować, badać oraz syntetyzować sygnały w sposób dużo bardziej efektywny niż badając sygnały w postaci ciągłej [Ric03]. Dzięki DFT możliwe jest wyznaczenie zawartości częstotliwościowej dowolnego sy- gnału dyskretnego (w dziedzinie czasu). DFT wywodzi się bezpośrednio z przekształ- cenia Fouriera, danego dla sygnałów ciągłych [Ric03, Dag01, Zie02], jako dyskretny ciąg X(m) w dziedzinie częstotliwości:

gdzie x(n) to dyskretny N elementowy ciąg wartości sygnału w dziedzinie czasu. Przyjmując, iż próbki w dziedzinie czasu zbierane są w równoodległych chwilach o długości 1/fs , gdzie fs jest częstotliwością próbkowania, można wprowadzić pojęcie częstotliwości podstawowej jako:

Analiza częstotliwościowa sygnału x(n) owocuje więc wyznaczeniem wartości X(m) DFT, zwanych prążkami, w punktach osi częstotliwości będących całkowitymi wie- lokrotnościami częstotliwości podstawowej:

Częstotliwości takie nazywane będą częstotliwościami bazowymi. Dyskretne prze- kształcenie Fouriera w ogólności przyporządkowuje więc zespolonemu ciągowi N elementowemu identyczny ciąg. W większości aplikacji sygnał wejściowy ma jednak charakter rzeczywisty (części urojone są równe zero dla wszystkich próbek). Sytuacja taka implikuje, iż prążki dla m >= N/2 mają charakter nadmiarowy. Dla argumen- tów m ∈ [0, N/2 − 1] wartość wyjściowa DFT będzie miała taką samą amplitudę jak (N − m)-ta wartość wyjściowa, kąt fazowy będzie się różnił tylko znakiem [Ric03].

Kolejną bardzo ważną własnością transformaty Fouriera jest jej liniowość. Mówi ona o tym, iż DFT sumy dwóch sygnałów jest równa sumie transformat każdego z sygnałów [Ric03, Zie02]. Dzięki tej własności możliwe jest analizowanie intere- sujących nas przypadków zawierających wiele składowych, np. sygnał wraz z jego harmonicznymi.

Wyniki transformaty Fouriera przykładowego sygnału (rys. 4.2a): spróbkowanego z częstotliwością 16 Hz zostały zaprezentowane na rysunku 4.2b. W widmie wyjściowym można zaobserwować obecność prążków dla częstotliwości odpo- wiadających sygnałom wejściowym, jednak ich amplituda jest inna niż oczekiwana. Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową sinusoidalną o amplitudzie A i całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek wejściowych, wówczas amplituda wyjściowa DFT dla tego przebiegu wynosi A · (N/2). Aby więc odczytać amplitudę z wyników DFT należy podzielić wartości wszystkich składowych przez (N/2).

W powyższym przykładzie częstotliwości były starannie dobrane, tak by w zbio- rze wejściowym dana częstotliwość mieściła się całkowitą ilość razy (aby dana czę- stotliwość była częstotliwością bazową). W przypadkach gdy częstotliwość sygnału wejściowego nie jest częstotliwością bazową można zaobserwować zjawisko wycieku.

Celem ćwiczenia jest …

Wygeneruj N próbek sygnału sinusoidalnego (amplituda 1 V,częstotliwości X Hz, faza początkowa n stopni) spróbowanego z częstotliwością 128Hz. Wykreśl wykres pierwszych M próbek w dziedzinie czasu. Wyznacz DTF z wygenerowanych próbek. Wykreśl wartości amplitudy i fazy (oś Y dla amplitudy w skali logarytmicznej).

Podobna procedurę powróż dla sygnału :

Jak należy znormalizować wyniki aby otrzymany wynik był nie tylko jakościowy ale i ilościowy?

Podaj na wejście sygnał …. 0.5

Coś o wycieku

Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka czestotliwosc sygnalu zostala sprobkowana ?

Podaj czesotlitosc 1 i 11 Hz przy samplingu 10 Hz. Wyplotuj wykresy w dziedzinie czasu (zagesc próbki pomiedzy wezlami). Czy jestes na podstawie samych próbek wskazac jaka była częstotliwość próbkowanego sygnału?

Wygeneruj 1024 losowe próbki. Wyznacz gestosc widmowa takiego sygnalu. Pownoz czynnosc 100 razy usredniajac wyniki (moduly amplitudy). Co mozesz powiedziec o gestosci widmowej ?

Sygnał z zadania pierwszego wpuśc na przetwornik ADC (z poprzednich zajeć). Wyznazc DTF otrzymanych kodów. Co stało sie z poziomem szumów ? (pomiar powtórz dla 8,10 i 12 bitów).

Dla wybranej liczby bitów ADC zmień wzmocnienie (lub offset) i zaboserwój zmiany w widmie.

(W obu ćwiczeniach możesz również sprawdzić czy uśrednianie widma pomaga).

[opcja] filtracja w dziedzinie częstotliwości (np. zidentyfikowanie i usunięcie zakłócenia o zadanej częstotliwości)

[opcja] badanie wpływu funkcji okien na widmo